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区间交集问题.md

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区间交集问题

本文是区间系列问题的第三篇,前两篇分别讲了区间的最大不相交子集和重叠区间的合并,今天再写一个算法,可以快速找出两组区间的交集。

先看下题目,LeetCode 第 986 题就是这个问题:

title

题目很好理解,就是让你找交集,注意区间都是闭区间。

思路

解决区间问题的思路一般是先排序,以便操作,不过题目说已经排好序了,那么可以用两个索引指针在 AB 中游走,把交集找出来,代码大概是这样的:

# A, B 形如 [[0,2],[5,10]...]
def intervalIntersection(A, B):
    i, j = 0, 0
    res = []
    while i < len(A) and j < len(B):
        # ...
        j += 1
        i += 1
    return res

不难,我们先老老实实分析一下各种情况。

首先,对于两个区间,我们用 [a1,a2][b1,b2] 表示在 AB 中的两个区间,那么什么情况下这两个区间没有交集呢:

只有这两种情况,写成代码的条件判断就是这样:

if b2 < a1 or a2 < b1:
    [a1,a2]  [b1,b2] 无交集

那么,什么情况下,两个区间存在交集呢?根据命题的否定,上面逻辑的否命题就是存在交集的条件:

# 不等号取反,or 也要变成 and
if b2 >= a1 and a2 >= b1:
    [a1,a2]  [b1,b2] 存在交集

接下来,两个区间存在交集的情况有哪些呢?穷举出来:

这很简单吧,就这四种情况而已。那么接下来思考,这几种情况下,交集是否有什么共同点呢?

我们惊奇地发现,交集区间是有规律的!如果交集区间是 [c1,c2],那么 c1=max(a1,b1)c2=min(a2,b2)!这一点就是寻找交集的核心,我们把代码更进一步:

while i < len(A) and j < len(B):
    a1, a2 = A[i][0], A[i][1]
    b1, b2 = B[j][0], B[j][1]
    if b2 >= a1 and a2 >= b1:
        res.append([max(a1, b1), min(a2, b2)])
    # ...

最后一步,我们的指针 ij 肯定要前进(递增)的,什么时候应该前进呢?

结合动画示例就很好理解了,是否前进,只取决于 a2b2 的大小关系:

while i < len(A) and j < len(B):
    # ...
    if b2 < a2:
        j += 1
    else:
        i += 1

代码

# A, B 形如 [[0,2],[5,10]...]
def intervalIntersection(A, B):
    i, j = 0, 0 # 双指针
    res = []
    while i < len(A) and j < len(B):
        a1, a2 = A[i][0], A[i][1]
        b1, b2 = B[j][0], B[j][1]
        # 两个区间存在交集
        if b2 >= a1 and a2 >= b1:
            # 计算出交集,加入 res
            res.append([max(a1, b1), min(a2, b2)])
        # 指针前进
        if b2 < a2: j += 1
        else:       i += 1
    return res

总结一下,区间类问题看起来都比较复杂,情况很多难以处理,但实际上通过观察各种不同情况之间的共性可以发现规律,用简洁的代码就能处理。

另外,区间问题没啥特别厉害的奇技淫巧,其操作也朴实无华,但其应用却十分广泛,接之前的几篇文章:

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